Иван Иванович Акулов родился 8 (21) января 1912 года в селе Языково Пензенской губернии. Он окончил четыре класса сельской школы. В 19 лет начал работать электромонтёром на Усть-Катавском заводе. Воевал в Советско-финляндской войне в 1939‒1940 годах. Его подразделение сражалось на Петрозаводском направлении. В 1940 году устроился электромонтёром на швейную фабрику имени Октябрьской революции (сегодня это посёлок Октябрьский Люберецкого района). Поработать ему удалось совсем недолго. С началом Великой Отечественной войны Ивана Ивановича призвали в Красную армию. Он прошёл всю войну. Воевал на Северо-Западном, 2-м Прибалтийском, Ленинградском и других фронтах. Участвовал в боях за Ленинград, под Псковом, освобождал Прибалтику. Имел четыре ранения. За героизм и мужество был награждён орденом Красной Звезды, медалями.
В конце 1940-х годов он оставил службу в армии и вернулся на Усть-Катавский завод. Здесь он сменил несколько рабочих профессий, был слесарем, мастером, электромонтёром, но чего-то всегда не хватало. Ивана Ивановича привлекало художественное творчество. Занявшись освоением профессии лепщика, Акулов понял, что его призвание — это скульптура. И вот в середине 1950-х годов Ивана Ивановича взяли на завод скульптором.
Автором большинства памятников Усть-Катава советского периода был именно он. Акулов создал памятники В. И. Ленину возле Дворца культуры, К. Марксу, Павлику Морозову, борцам революции. Бюст Героя Советского Союза лётчика С. Ф. Кондрина и памятник не вернувшимся с войны 1941‒1945 гг. также созданы Иваном Ивановичем.
Увлечённый творчеством, Акулов создал настолько красивую лепнину для Дворца культуры вагоностроителей, что её стали называть «усть-катавским чудом». Соседние города тоже заказывали памятники у талантливого скульптора. Они стоят в Катав-Ивановске, Юрюзани, селе Минка. Среди них можно выделить скульптуру «Орлёнок» в Детском центре «Ребячья республика», памятник преподавателям и выпускникам училища, погибшим в Великой Отечественной войне, в Юрюзани. Иван Иванович за свою жизнь создал около 60 скульптур и других композиций. Большинство из них находятся в Усть-Катаве и соседних городах. Историко-краеведческий музей Усть-Катава хранит в своих фондах несколько его работ.
Иван Иванович Акулов оставил глубокий след в историческом и культурном наследии города, за что в 1987 году ему присвоили звание почётного гражданина Усть-Катава.